Μαθηματικά Κατεύθυνσης: Τα θέματα των Πανελληνίων (+ οι απαντήσεις)

Δημοσιεύθηκε @ 2/06/2014 στις 19:29 | Κατηγορία: Εκπαίδευση από

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄)
ΔΕΥΤΕΡΑ 2 IOYNIOY 2014 – ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α
A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν
• η f είναι συνεχής στο Δ και
• f (x) 0 ′ =

για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ,
τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.
Μονάδες 8
A2. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ

και παραγωγίσιμη
στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα
προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;
Μονάδες 4
A3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Πότε λέμε ότι η f
παρουσιάζει στο 0 x ∈Α (ολικό) μέγιστο, το f x( 0 );
Μονάδες 3
A4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο
τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη
λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι
λανθασμένη.
α) Για κάθε z∈^ ισχύει zz2 − = Im(z)
(μονάδες 2)
β) Αν ( ) 0 x x
lim f x
→ = +∞ ή −∞, τότε 0 ( ) x x
1 lim 0
→ f x =
(μονάδες 2)

γ) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα
είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα.
(μονάδες 2)
δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ

και α, β, γ Δ ∈ ,
τότε ισχύει
βγ β
αα γ
f(x)dx f(x) dx f(x) dx = + ∫∫∫
(μονάδες 2)
ε) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ

και παραγωγίσιμη
σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f

είναι γνησίως
φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά
αρνητική στο εσωτερικό του Δ.
(μονάδες 2)
Μονάδες 10

ΘΕΜΑ Β

Δίνεται η εξίσωση
2
2 z (z z)i 4 2i 0, z + + −− = ∈^
B1. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση.
Μονάδες 9
B2. Αν 1 z =1+i και 2 z =1-i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να
αποδείξετε ότι ο αριθμός
39
1
2
z w 3
z
⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

είναι ίσος με −3i
Μονάδες 8
B3. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για
τους οποίους ισχύει
u w 4z z i + = −− 1 2
όπου w, z , z 1 2 οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β2.
Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ

Δίνεται η συνάρτηση

x h( ) x , x x = −An( 1) e + ∈R

Γ1. Να μελετήσετε την h
ως προς την κυρτότητα.
Μονάδες 5
Γ2. Να λύσετε την ανίσωση
h( h ) 2 (x)
1

<
+
e e
e ,
x∈\
Μονάδες 7
Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h
στο
+∞, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτή της στο −∞.
Μονάδες 6
Γ4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) x φ(x) h(x) , = + e An2 x∈\
Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της φ(x), τον άξονα x’x και την ευθεία x 1=
Μονάδες 7

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται η συνάρτηση ( )
x 1 , αν x 0
x f x
1 , αν x 0
⎧ − ⎪ ≠ ⎪ = ⎨
⎪ = ⎪⎩
e

Δ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο 0 x 0 = και, στη συνέχεια,
ότι είναι γνησίως αύξουσα.
Μονάδες 7
Δ2. Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή.

α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
1
2 (x) f
f(u) du 0

= ∫
έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η x 0 = (μονάδες 7)

β) Ένα υλικό σημείο M ξεκινά τη χρονική στιγμή t 0= από ένα σημείο
A( ) 0 0 x, x) f( με 0 x 0 < και κινείται κατά μήκος της καμπύλης
0 y f(x), x x = ≥ με x x(t), y y(t), t 0 = =≥ . Σε ποιο σημείο της
καμπύλης ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης x(t) του σημείου M είναι
διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί
ότι x’(t) 0 > για κάθε t 0 ≥ .
(μονάδες 4)

Μονάδες 11
Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση
( )( ) ( ) 2 2 g(x) x f(x) 1 x 2 , x 0, = +− − ∈ + e ∞
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και
μία θέση τοπικού μεγίστου.
Μονάδες 7

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Tags: , , , , ,